Relations de commutation.

Deux opérateurs $A$ et $B$ commutent si

$$AB - BA = 0$$ (1.100)

Exemple $x$ et $y$

$$xy-yx=0$$ (1.101)

Si $A$ et $B$ ne commutent pas il existe une règle de commutation

$$AB - BA = \lbrack A,B\rbrack$$ (1.102)

$\lbrack A,B\rbrack$ est un nouvel opérateur, le commutateur de $A$ et de $B$.

On détermine $\lbrack A,B\rbrack$ en faisant agir $AB$ et $BA$ sur une fonction arbitraire $g(r)$
Exemple $A=x,\quad \quad B=p_x=-\imath\hbar{\partial\over{\partial x}}$

$$(xp_x - p_xx) g(r) = -\imath\hbar x {\partial g \over \parti... ...imath\hbar {\partial \over \partial x} (xg) = \imath\hbar g(r)$$ (1.103)

On vérifiera facilement les relations suivantes:

$$\lbrack A,B \rbrack = - \lbrack B,A \rbrack$$ (1.104)

$$\lbrack A,c \rbrack = 0 \rbrack$$ (1.105)

où $c$ est un scalaire

$$\lbrack (A_1 + A_2),B \rbrack = \lbrack A_1,B \rbrack + \lbrack A_2,B \rbrack$$ (1.106)

$$\lbrack A_1A_2,B \rbrack = \lbrack A_1,B \rbrack A_2 + A_1\lbrack A_2,B \rbrack$$ (1.107)

$$\lbrack A,\lbrack B,C \rbrack \rbrack + \lbrack B,\lbrack C,A \rbrack \rbrack + \lbrack C,\lbrack A,B \rbrack \rbrack = 0$$ (1.108)