Espace de Hilbert.

par définition l'espace de Hilbert est un espace vectoriel complet de dimension infinie et ayant les propriétés des espaces préhilbertiens.

On dit qu'un espace est complet si une séquence quelconque de ses éléments $\lbrace f_n \rbrace$ satisfait au critère de convergence de Cauchy:

$$\parallel f_n - f_m \parallel \longrightarrow 0 \hskip 1 cm n \longrightarrow \infty$$ (1.70)

exemple d'espace de Hilbert: ensemble des fonctions complexes continues intégrales sur $\lbrack a,b \lbrack$ et telles que:

$$\int\limits_a ^b \vert f(x) \vert^2 dx \hskip 1 cm \hbox{soit finie}$$ (1.71)