Matrices densité.

Pour un système à $N$ particules de coordonnées d'sepace et de spin ${\bf x}_1, {\bf x}_2, \dots,{\bf x}_N$ représenté par la fonction d'onde $\Psi({\bf x}_1, {\bf x}_2, \dots,{\bf x}_N)$ la fonction

$$\Gamma^{(N)}({\bf x}_1, {\bf x}_2, \dots,{\bf x}_N; {\bf x}^... ...st({\bf x}^\prime_1, {\bf x}^\prime_2, \dots,{\bf x}^\prime_N)$$ (3.112)

est appelée matrice densité du système totale. Plus généralement, on définira les matrices densité d'ordre $k$ par les fonctions:

$$\Gamma^{(k)}({\bf x}_1,\dots,{\bf x}_k;{\bf x}^\prime_1,%% \... ...x}_N)\times\Psi^\ast({\bf x}^\prime_1,\dots,{\bf x}^\prime_N)$$ (3.113)

En particulier les matrices densité du second et du premier ordres ont pour expressions:

$$\Gamma^{(2)}({\bf x}_1, {\bf x}_2; {\bf x}^\prime_1, {\bf x}... ...st({\bf x}^\prime_1, {\bf x}^\prime_2, \dots,{\bf x}^\prime_N)$$ (3.114)

et

$$\Gamma^{(1)}({\bf x}_1; {\bf x}^\prime_1) = N\int d\tau_2\in... ...st({\bf x}^\prime_1, {\bf x}^\prime_2, \dots,{\bf x}^\prime_N)$$ (3.115)

La densité électronique est égale aux éléments diagonaux de $\Gamma^{(1)}({\bf x}_1; {\bf x}^\prime_1)$:

$$\rho({\bf r}) = \Gamma^{(1)}({\bf x}_1; {\bf x}_1) = N\int d... ...st({\bf x}^\prime_1, {\bf x}^\prime_2, \dots,{\bf x}^\prime_N)$$ (3.116)

où $d\tau^\prime$ indique que l'intégration est effectuée sur les coordonées d'espace et de spin de tous les électrons sauf un.