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LC209 - TP2 : Analyse

UPMC, Paris. (Peter Reinhardt, reinh@lct.jussieu.fr)

Exercices de rappel

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Des operations simples pour une fonction (rappel)

- Définir et tracer une fonction simple d'une variable entre zéro et 10, telle que sin, cos, un polynôme, etc...

- La multiplier par  (e^(-(((x-5))^2))), tracer la nouvelle fonction.

- Chercher le maximum de cette nouvelle fonction par  FindMaximum[f,{x,5}]

- Intégrer la fonction analytiquement et numériquement entre zéro et 10 et comparer les résultats.

- Tracer la derivée de la fonction, et la deuxième dérivée.

- Vérifier que la derivée est zéro au point du maximum, et que la 2ème derivée ne l'est pas.

Exercices

Exercice 1 : Orbitales de l'atome d'hydrogène

Une orbitale 1s   est une fonction de la forme

(Subscript[Ψ, 1s])(x,y,z)=(Subscript[N, 1s]) (e^(-r))

où (Subscript[N, 1s]) est une constante de normalisation. Une orbitale 2(Subscript[p, x]), 2(Subscript[p, y]) ou 2(Subscript[p, z]) s'écrit comme

(Subscript[Ψ, 2(Subscript[p, x])])(x,y,z)=(Subscript[N, 2p]) x (e^(-r/2))

(Subscript[Ψ, 2(Subscript[p, y])])(x,y,z)=(Subscript[N, 2p]) y (e^(-r/2))

(Subscript[Ψ, 2(Subscript[p, z])])(x,y,z)=(Subscript[N, 2p]) z (e^(-r/2))

Une orbitale  3dxy  (une des 5 orbitales 3d) s'écrit comme

(Subscript[(Subscript[Ψ, 3d]), xy])(x,y,z)=(Subscript[N, 3(Subscript[d, xy])]) x y (e^(-r/3))

1) Exprimer x, y et z  en fonction des coordonnées sphériques r, θ et φ.  Définir les fonctions d'onde 1s, 2(Subscript[p, z]) et 3(Subscript[d, xy]) comme fonctions des coordonnées sphériques. Utiliser Psi3dxy, N1s  etc. pour (Subscript[(Subscript[Ψ, 3d]), xy]),(Subscript[N, 1s]) pour faciliter l'écriture des formules.

2) Le recouvrement de deux orbitales (Subscript[f, 1]) et (Subscript[f, 2]) est l'intégrale suivante

(Subscript[S, f1,f2])=(∫_0^∞)(∫_0^π)(∫_0^(2π))(Subscript[f, 1])(r,θ,φ)(Subscript[f, 2])(r,θ,φ) (r^2)sin (θ) dr dθ dφ

Vérifier que les orbitales 1s et 2(Subscript[p, z]) sont orthogonales, c'est-à-dire que leur recouvrement est bien zéro.

3) Une orbitale doit être normée à 1, c'est-à-dire que son recouvrement avec elle-même doit être 1. Déterminer les constantes   (Subscript[N, 1s]), (Subscript[N, 2p]) et (Subscript[N, 3(Subscript[d, xy])]).

4) La densité radiale est la partie restante après intégration du carré de l'orbitale normée sur les angles θ et φ, c'est-à-dire

(Subscript[D, rad,f])(r)=(∫_0^π)(∫_0^(2π))((f(r,θ,φ))^2) (r^2)sin(θ) dθ dφ

Calculer et tracer la densité radiale des 3 orbitales, et trouver leur maximum.

Exercice 2 : Approximations utiles

Nous proposons d'étudier des approximations autour de x=0 par développement de Taylor d'une des fonctions suivantes : 1/(1+x), (Sqrt[1+x]), ln(1+x), (e^x), sin(x).

1) Choisir une fonction et la tracer entre x=0 et x=1.

2) Trouver les 3 premiers termes du développement limité de la fonction choisie pour les premiers 3 termes.

3) Tracer la fonction, puis les approximations d'ordre 0, 1, 2 et 3.

4) Tracer la différence des diverses approximations  avec la fonction d'origine. Quelles sont les erreurs des diverses approximations pour x=0.5 ?

Exercice 3 : Recherche d'extremum avec contraintes

Nous prenons la fonction f(x,y)=(x^2)-(y^2) et nous cherchons un extremum en respectant la contrainte (x^2)+(y^2)=1.  Par conséquent, x et y  ne sont pas indépendants.

1) Solution par paramétrisation
On peut exprimer plus simplement la contrainte avec un paramètre φ en posant x=sin φ et y=cos φ. Vérifier que la contrainte est alors respectée et faire le changement de variable f(x, y) ->g(φ). Chercher les extrema de g(φ) par rapport à φ. Trouver les points (x,y) correspondants.

2) Solution par la méthode de Lagrange
On introduit un multiplicateur de Lagrange λ pour incorporer la contrainte dans la fonction à extrémiser :

L (x, y, λ) = (x^2)-(y^2)+ λ ((x^2)+(y^2)-1)

L'extremum est déterminé en cherchant les zéros de  toutes les dérivées partielles :

((∂L)/(∂x))=((∂L)/(∂y))=((∂L)/(∂λ))=0

Ecrire les 3 dérivées partielles et résoudre le système d'équations. Trouve-t-on les mêmes solutions qu'auparavant ?

Exercice 4 : Intégration par rectangles

Prenons une fonction quelconque, par exemple f(x)=3 x sin(5x^3),  et essayons de l'intégrer numériquement entre les bornes 0 et 3

1) Définir et tracer la fonction.

2) Utiliser la fonction de Mathematca "NIntegrate" pour déterminer l'intégrale numériquement.

3) Nous allons maintenant refaire l'intégration par la méthode des rectangles.

On coupe l'intervalle 0 à 3 en petits segments de longueur Δ. L'intégrale est approchée par la somme des aires des rectangles de base Δ et de hauteur donnée la valeur de la fonction au milieu de chaque segment. 
Par exemple, si nous prenons 100 segments, la longueur de chaque segment est de Δ=0.03. Le rectangle n°i  commence à i Δ et se termine à (i+1)Δ. Sa hauteur est de f(i Δ+Δ/2). L'aire du rectangle  N° i est alors  Δ×f(i Δ+Δ/2) .  On fera la somme des aires des rectangles avec une boucle "Do" (voir le modèle dans le document du  TP 1).

Exercice 5 : Extraction liquide-liquide

L' extraction liquide - liquide est un équilibre en solution, characterisé par une contante p, le coefficient de partage. 
Un volume initial (Subscript[V, 1]) d' une concentration (Subscript[c, 1])  est melangé avec le solvant extractant de volume (Subscript[V, 2]) . A l'équilibre la concentration c1 a diminué, et il s'est produite une concentration c2' dans le solvant extractant. Le rapport des deux concentrations, c2'/c1',  est p.

1) Exprimer le nombre de moles n1 dans la solution intiale

2) Déterminer le nombre de moles Δn passées dans l' autre solvant par l'extraction et recalculer la nouvelle concentration dans le solvant initial : c1'

3) On refait la même opération; calculer la nouvelle concentration en fonction de p, V1, V2 et c1

4) Qu'aura-t-on après m extractions ? Mettons dans le résultat   V2=V1/m

5) On obtient la fonction ((((m/(m+p))))^m)= (((1 + (p/m)))^(-m)). Développer cette fonction en puissances de p 
par  Series [ ..,{p,0,5}].

6) Comparer les différents termes avec le développement limité de Exp[-p].

7) Qu'observe-t-on pour m -> ∞ ?

Application numérique :
       p = 12,  V1 = 100 ml,  V2 = 200 ml, c1 = 0.1 mol/l

- Quelle est la concentration après une extraction simple ?

- La fonction h[m_]=((n1((V1/(V1+p V2/m))))^m)  donne la concentration après m extractions. Peut-on 
arriver à une concentration inférieure à (10^(-6))mol/l ? Combien d'extractions faut-il pour la baisser en  
dessous de (10^(-3)) mol/l ? Tracer Log10[h[m]] pour m entre 0 et 100.

- Quelle est la limite pour m ->∞ ?