CHIM202 (Atomistique et Liaison
Chimique)TE 3 : Formalisme de la mécanique quantique
Distinguer et définir d'abord les mots "vecteur", "application
linéaire", "vecteur propre", "valeur propre", "produit
scalaire",
"fonction" et "opérateur". Pourquoi les fonctions f(x)
sont-elles des
vecteurs? Dans quel espace?
Les fonctions Y1(x) = e ax et
Y2(x) = e ax2 sont-elles fonctions propres
de
l'opérateur [d/dx]?
La fonction Y3(x) = cos(ax)
est-elle
fonction propre des opérateurs [d/dx] et
[(d2)/(dx2)]?
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont les fonctions
propres de l'opérateur inversion I qui transforme x en
- x: (a) Y4(x) = x3 - kx (b)
Y5(x) = cos(kx) (c)
Y6(x) = x2 + 3x - 1
Soient trois opérateurs linéaires A, B et C. On
rappelle que le commutateur de A et B est défini par
l'opérateur [A,B] = AB - BA.
Calculer [B,A], [A,B+C], [AB,C], [A,BC] en fonction de
[A,B], [A,C] et [B,C].
Montrer que les opérateurs x et
px = - i(h/2p)[(d)/(dx)] ne commutent pas.
Montrer que [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.
Calculer [A,B] pour
A =
æ
ç
ç
ç
è
1
1
0
1
2
2
0
2
-1
ö
÷
÷
÷
ø
et B =
æ
ç
ç
ç
è
1
-1
1
-1
0
0
1
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
.
Soit [A,B]=0 et x vecteur propre
non-dégénéré de A avec valeur propre l, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'espace
multidimensionnel avec cette valeur propre. Montrer que x est
également vecteur propre de B. Cette conséquence devient
très important en spectroscopie.
Soit un opérateur linéaire A agissant sur des
fonctions à une variable du type f(x) tel que
x Î ] -¥, +¥ [ et lim±¥f=0.
L'opérateur adjoint de A, noté A+, est
défini par
son action:
ó
õ
g*(x)A+f(x)dx =
æ
è
ó
õ
f*(x)Ag(x)dx
ö
ø
*
On dit que A est hermitique si A = A+ (on trouve
également les notations t[`A]
ou Af).
Les opérateurs A1 = x et
A2 = [(d)/(dx)] sont-ils hermitiques?
Démontrer que l'opérateur px est
hermitique.
Soit l'opérateur hermitique A.
Montrer que ses valeurs propres sont réelles.
Montrer que deux vecteurs propres f et g associés
à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux,
c'est-à-dire òg*(x)f(x)dx = 0.
Montrer que (AB)+ = B+A+.
Soient A, B et C=AB hermitiques. Montrer que [A,B]=0.
Soit U unitaire (i.e. UU+=U+U=1) et B=U+AU.
Montrer que A=UBU+.
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On 11 Feb 2005, 10:41.